[2015년 백석고]

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[2학년 2학기 중간 확률과 통계]

한 개의 동전을 세 번 던져서 나오는 뒷면의 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, [eqn: X]의 분산을 구하면? [4.2점]

④

① [eqn: 23over64]	② [eqn: 3over8]	③ [eqn: 31over64]

④ [eqn: 3over4]	⑤ [eqn: 3over2]

정육면체 주사위 한 개를 던져서 나오는 눈을 [eqn: a]라고 할 때, [eqn: 100a]원을 상금으로 갖는 게임이 있다. 이 게임에서 상금의 액수를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, 확률변수 [eqn: 2X-100]의 기댓값을 구하면? [4.2점]

⑤

① [eqn: 200]	② [eqn: 300]	③ [eqn: 400]

④ [eqn: 500]	⑤ [eqn: 600]

어느 핸드볼 선수의 슛 성공률이 [eqn: 80%]라고 한다. 이 선수가 [eqn: 100]회의 슛을 던질 때, 슛을 성공하는 횟수가 [eqn: 90]회 이상일 확률을 아래의 표준정규분포표를 이용하여 구하면? [4.5점]

①

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

① [eqn: 0.0062]	② [eqn: 0.0228]	③ [eqn: 0.3413]

④ [eqn: 0.4332]	⑤ [eqn: 0.4938]

두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [0,```n]]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)= { m} over { 8}x]이다. 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]의 모든 순서쌍 [eqn: (m,```n)]의 개수를 구하면? [4.5점]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

어느 지방 자치 단체의 새로운 환경 정책에 대한 주민의 선호도를 알아보기 위하여 이 지역 주민 중에서 [eqn: 900]명을 임의 추출하여 조사하였더니 [eqn: 810]명이 찬성하였다. 전체 주민들 중에서 새로운 정책에 찬성하는 주민의 비율 [eqn: p]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포표를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rmP}(0 le Z le 2)=0.475]로 계산한다.) [4.5점]

③

① [eqn: [0.7,```1.1]]	② [eqn: [0.86,```0.94]]	③ [eqn: [0.88,```0.92]]

④ [eqn: [0.898,```0.902]]	⑤ [eqn: [0.8804,```0.9016]]

정규분포를 따르는 모집단에서 크기 [eqn: n]인 표본을 임의추출하고, 그 평균을 [eqn: barX]라고 하자. [eqn: barX]를 이용하여 모평균을 추정할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

⑤

ㄱ. 표본평균 [eqn: barX]는 확률변수이므로 추출되는 표본에

따라 그 값이 달라지며, 그에 따라 신뢰구간도

달라진다.

ㄴ. 신뢰도를 높이고 표본의 크기를 작게하면,

신뢰구간의 길이는 길어진다.

ㄷ. 표본의 크기가 일정할 때, 신뢰도가 낮아질수록

신뢰구간의 길이는 짧아진다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 각각 정규분포 [eqn: rm N(25,```3 ^{2})], [eqn: rm N(10,```1 ^{2} )]을 따른다고 한다 이 때, [eqn: rm P it (X le 6) +{rmP}(Y le k)=1]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값은? [4.8점]

⑤

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

서로 다른 자연수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8], [eqn: n]의 숫자가 각각 하나씩 적힌 모양과 크기가 같은 [eqn: 5]개의 공이 들어 있는 상자에서 [eqn: 2]개의 공을 임의로 복원추출할 때, 공에 적힌 숫자의 평균을 [eqn: barX]라고 하자. [eqn: barX]의 분산이 [eqn: 3]일 때, [eqn: n]의 값은? [4.8점]

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

어느 수목원에 있는 소나무 중에서 [eqn: 100]그루를 임의로 뽑아 높이를 조사한 결과 평균이 [eqn: 3rmm], 표준편차가 [eqn: 0.5rmm]이었다. 이 수목원에 있는 소나무의 높이가 정규분포를 따른다고 할 때, 이 수목원의 전체 소나무들의 평균 높이 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간을 구하면? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P it (0 LEQ Z le2)=0.475]로 계산한다.) [4.8점]

②

① [eqn: [2,```4]]	② [eqn: [2.9,```3.1]]	③ [eqn: [2.8,```3.2]]

④ [eqn: [2.5,```3.0]]	⑤ [eqn: [2.99,```3.01]]

[eqn: rmB]고등학교 신입생의 키는 평균이 [eqn: 166rmcm]이고 표준편차가 [eqn: rm4cm]인 정규분포를 따른다고 한다. 임의로 뽑은 한 신입생의 키가 [eqn: 162rmcm] 이상 [eqn: 170rmcm] 이하일 확률과 임의추출한 [eqn: 64]명의 신입생의 평균 키가 [eqn: (166-alpha)rmcm] 이상 [eqn: (166+alpha)rmcm] 이하일 확률이 서로 같을 때, 양의 실수 [eqn: alpha]의 값은? [4.8점]

④

① [eqn: 0.1]	② [eqn: 0.2]	③ [eqn: 0.25]

④ [eqn: 0.5]	⑤ [eqn: 1]

정규분포 [eqn: {rmN}(m,```5^2 )]를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 [eqn: barX]의 값을 [eqn: barx]라고 하자. 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간이 [eqn: barx -f(n)le m le barx +f(n)]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rmP}(0 le Z le2)=0.475]로 계산한다.) [4.8점]

③

ㄱ. [eqn: f(100)=1]

ㄴ. 두 자연수 [eqn: n_1], [eqn: n_2]에 대하여 [eqn: n_1 <n_2]이면

[eqn: f(n_1 )<f(n_2 )]이다.

ㄷ. 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간의

길이는 [eqn: barx]의 영향을 받지 않는다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어떤 모집단에서 임의로 [eqn: 100]명을 추출하여 구한 모비율에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간이 [eqn: left[ { 1} over {5 }-c,``` { 1} over { 5}+c right]]이었다. 같은 모집단에서 충분히 큰 [eqn: n]명을 임의로 추출하여 구한 모비율에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간이 [eqn: left[ { 1} over { 10}-s(n) ,``` { 1} over {10 }+s(n) right]]이고 [eqn: s(n)= { 3} over { 8}c]일 때, [eqn: n]의 값을 구하면? [4.8점]

③

① [eqn: 200]	② [eqn: 300]	③ [eqn: 400]

④ [eqn: 500]	⑤ [eqn: 600]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rmN(5,```4^2 )]을 따를 때,
[eqn: sum_n=1 ^9 {rmP}(X le n)=k]이다. [eqn: 10k]의 값은? [4.8점]

④

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

두 사람 [eqn: A]와 [eqn: B]가 각각 정육면체 주사위를 한 개씩 동시에 던지는 시행을 한다. 이 시행에서 나온 두 주사위의 눈의 수의 차가 [eqn: 2]보다 작으면 [eqn: A]가 [eqn: 2]점을 얻고, 그렇지 않으면 [eqn: B]가 [eqn: 1]점을 얻는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 36]회 반복할 때, [eqn: A]가 얻는 점수의 합의 기댓값을 [eqn: alpha], [eqn: B]가 얻는 점수의 합의 기댓값을 [eqn: beta]라고 하자. [eqn: alpha-beta]의 값을 구하면? [5.0점]

①

① [eqn: 12]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -8]

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rmN(17,```5^2 )], 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: {rmN}(m,```5^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]이다. [eqn: f(12)=g(0)], [eqn: {rmP}(Y le 0)<0.5]일 때,
[eqn: {rmP}(X le 12)+{rmP}(Y ge 15)]
의 값을 아래의 표준정규분포표를 이용하여 구하면? [5.0점]

①

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

① [eqn: 0.1815]	② [eqn: 0.3641]	③ [eqn: 0.6359]

④ [eqn: 0.8185]	⑤ [eqn: 0.8641]

서술형

다음은 어떤 모집단의 확률분포를 표로 나타낸 것이다. 다음 물음에 답하시오. [총 7점]

(1) 평균 [eqn: 4], 표준편차 [eqn: 2over sqrt { 5}]

(2) [eqn: 1over5]

[eqn: X]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 2over5]	[eqn: 1over5]	[eqn: 2over5]	[eqn: 1]

(1) [eqn: X]의 평균과 표준편차를 구하고, 그 과정을 서술하시오.

[3점]

(2) 이 모집단에서 크기가 [eqn: 3]인 표본을 임의로 복원추출하여

구한 표본평균을 [eqn: barX]라고 하자. [eqn: {rmP}(barX =4)]를 구하고,

그 과정을 서술하시오. [4점]

평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: 4]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 36]인 표본을 임의추출하여 그 표본평균을 [eqn: barX]라고 할 때, 아래의 표준정규분포표를 이용하여 다음 물음에 답하시오. [총 8점]

(1) [eqn: 0.8664]

(2) [eqn: 5over6]

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

(1) 표본평균 [eqn: barX]와 모평균 [eqn: m]의 차가 [eqn: 1] 이하일 확률을 구하고,

그 과정을 서술하시오. [4점]

(2) [eqn: {rmP}left(left| {m-barX } over {k }right|le2right)=0.9876]을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을

구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: k>0]) [4점]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대해 확률변수 [eqn: X]의 분포는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: a_1]	[eqn: a_2]	[eqn: cdots]	[eqn: a_65]	계
[eqn: {rmP}(X=a_n )]	[eqn: `_64 {rmC}_0 left( { 1} over { 2} right)^64]	[eqn: ` _{64} rm C it _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{64}]		[eqn: ` _{64} rm C it _{64} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{64}]	[eqn: 1]

[eqn: {rmE}(X)=100], [eqn: sigma(X)=12]일 때, [eqn: a_15]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [8점]

[eqn: 46]

어느 양계장에서 만드는 달걀 한 개의 무게는 평균이 [eqn: 30rmg], 표준편차가 [eqn: 5rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양계장에서는 달걀 [eqn: 25]개씩을 한 상자에 담아서 판매하는데, [eqn: 25]개의 달걀을 담은 상자의 무게가 [eqn: 718rmg] 이하이거나 [eqn: rm728g] 이상이면 반품된다고 한다. 어느 날 이 양계장에서 생산한 달걀 [eqn: 100]상자 중에서 반품된 것이 [eqn: 12]상자 이상일 확률을 아래의 표준정규분포를 이용하여 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, 상자의 무게는 생각하지 않는다.) [7점]

[eqn: 0.02]

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.04]	[eqn: 0.35]
[eqn: 1.28]	[eqn: 0.40]
[eqn: 1.64]	[eqn: 0.45]
[eqn: 2]	[eqn: 0.48]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.49]

[2015년 백석고]

[2학년 2학기 중간 확률과 통계]

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